2020年成人高考《数学(文)》考点:数列综合应用

黑龙江成人高考网 发布时间:2020-10-17 11:52:43

       纵观近几年的成人高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度.


  ●难点磁场


  (★★★★★)已知二次函数y=f(x)在x= 处取得最小值- (t>0),f(1)=0.


  (1)求y=f(x)的表达式;


  (2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]为多项式,n∈N*),试用t表示an和bn;


  (3)设圆Cn的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2,圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列,记Sn为前n个圆的面积之和,求rn、Sn.


  ●案例探究


  [例1]从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少 ,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 .


  (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式;


  (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?


  命题意图:本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,属于应用题型,正是近几年高考的热点和重点题型,属★★★★★级题目.


  知识依托:本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.


  错解分析:(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和,易与“通项”混淆;(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差.


  技巧与方法:正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的灵魂,(2)问中指数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧.


  解:(1)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1- )万元,…第n年投入为800×(1- )n-1万元,所以,n年内的总投入为


  an=800+800×(1- )+…+800×(1- )n-1= 800×(1- )k-1


  =4000×[1-( )n]


  第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1+ ),…,第n年旅游业收入400×(1+ )n-1万元.所以,n年内的旅游业总收入为


  bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k-1= 400×( )k-1.


  =1600×[( )n-1]


  (2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此bn-an>0,即:


  1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0,令x=( )n,代入上式得:5x2-7x+2>0.解此不等式,得x< ,或x>1(舍去).即( )n< ,由此得n≥5.


  ∴至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.


  [例2]已知Sn=1+ +…+ ,(n∈N*)设f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数m的取值范围,使得对于一切大于1的自然数n,不等式:f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2恒成立.


  命题意图:本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.


  知识依托:本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙.


  错解分析:本题学生很容易求f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理.


  技巧与方法:解决本题的关键是把f(n)(n∈N*)看作是n的函数,此时不等式的恒成立就转化为:函数f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2.


  解:∵Sn=1+ +…+ .(n∈N*)


  ∴f(n+1)>f(n)


  ∴f(n)是关于n的增函数


  ∴f(n) min=f(2)= ∴要使一切大于1的自然数n,不等式


  f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2恒成立


  只要 >[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2成立即可


  由 得m>1且m≠2


  此时设[logm(m-1)]2=t 则t>0


  于是 解得0


  由此得0<[logm(m-1)]2<1


  解得m> 且m≠2.


  ●锦囊妙计


  1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力;解答应用性问题,应充分运用观察、归纳、猜想的手段,建立出有关等差(比)数列、递推数列模型,再综合其他相关知识来解决问题.


  2.纵观近几年高考应用题看,解决一个应用题,重点过三关:


  (1)事理关:需要读懂题意,明确问题的实际背景,即需要一定的阅读能力.


  (2)文理关:需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言,用数学式子表达数学关系.


  (3)事理关:在构建数学模型的过程中;要求考生对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后,要正确得到问题的解,还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.

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